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Mappage de coordonnées d’écran au plan complexe

Mappage de coordonnées d’écran au plan complexe

S’appuyant sur les informations présentées dans Rendu initial de l’ensemble de Mandelbrot à l’aide de canvas, cette rubrique décrit comment mapper des coordonnées d’écran au plan complexe.

Mandelbrot 1 présente plusieurs inconvénients, notamment l’impossibilité de révéler des régions intéressantes de l’ensemble de Mandelbrot grâce à un agrandissement, comme suggéré par le rectangle rouge semi-transparent suivant :

Capture d’écran de Mandelbrot Explorer avec zone d’agrandissement affichée

Ici, le rectangle rouge semi-transparent, créé par une opération cliquer-déplacer, indique la région de l’ensemble de Mandelbrot à agrandir. Autrement dit, les coins supérieur gauche et inférieur droit du rectangle définissent une « zone d’agrandissement ». Nous devons transformer les points du système de coordonnées de zone de dessin pour les coins supérieur gauche et inférieur droit de la zone d’agrandissement en points analogues dans le système de coordonnées du plan complexe afin de dessiner cette région de l’ensemble de Mandelbrot (et ainsi « agrandir » l’ensemble de Mandelbrot).

Pour transformer un point du système de coordonnées de zone de dessin (rouge) en système de coordonnées du plan complexe (vert), nous supposons que toutes les transformations de coordonnées sont proportionnelles :

Système de coordonnées de zone de dessin surimposé sur le système de coordonnées de plan complexe

Autrement dit :

Équation de proportionnalité 1 (1)

De même, nous avons :

Équation de proportionnalité 2 (2)

et

Équation de proportionnalité 3 (3)

Si nous résolvons (2) et (3) pour x’ et y’, nous obtenons les équations de transformation requises :

Résultat d’équation de proportionnalité

Mais comme x’ et y’ dépendent de ReMax, ReMin, ImMax et ImMin, nous devons choisir ces valeurs de sorte que l’image de Mandelbrot affichée ne soit pas penchée dans la direction de x ou de y. Autrement dit, nous devons résoudre (1) pour déterminer l’un des extrêmes du plan complexe, disons ReMax, en tant que fonction des trois autres (afin de garantir un plan complexe proportionnel). Par exemple :

Équation de proportionnalité principale

Par conséquent, étant donné le point (x, y) du système de coordonnées de zone de dessin, le point coïncident analogue dans le plan complexe (x’, y’) peut être calculé à l’aide des équations de transformation ci-dessus, comme illustré ci-dessous :

Système de coordonnées de zone de dessin surimposé sur le système de coordonnées de plan complexe

Dans cet exemple, nous avons :

Constantes utilisées dans l’image précédente

Les équations de transformation de coordonnées deviennent donc :

Équations de transformation de coordonnées résolues sur la base des constantes précédentes

Ainsi, le point du système de coordonnées de zone de dessin ci-dessus (30, 20) devient (-1,3, 0,4) dans le système de coordonnées de plan complexe.

Pour calculer (x’, y’) étant donné (x, y), il suffit de résoudre les équations de transformation pour x et y :

Équations de transformation simplifiées

Par exemple, le point de plan complexe (1,1, -1,2) figure sur la zone de dessin au point (90, 60), comme prévu.

Remarque  Pour découvrir une autre manière de générer les équations de transformation ci-dessus, voir Comment mapper des points entre des systèmes de coordonnées 2D.

Disposant d’un moyen pour mapper un point de la zone de dessin à un point dans le plan complexe, nous pouvons maintenant examiner comment implémenter une zone d’agrandissement. Toutefois, pour simplifier la mise en œuvre de la zone d’agrandissement, nous allons d’abord réécrire Mandelbrot 1, comme discuté dans Simplification de la mise en œuvre de la zone d’agrandissement.

Rubriques associées

Simplification de la mise en œuvre de la zone d’agrandissement
Comment mapper des points entre des systèmes de coordonnées 2D

 

 

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