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Mandelbrot 집합에 대한 간략한 개요

이 항목에서는 Mandelbrot 집합에 대한 기본적인 개요를 제공합니다.

복소수 z = x + yi를 살펴보겠습니다. z의 실수부(Re)는 x이고 허수부(Im)는 y입니다. 데카르트 평면의 점과 매우 유사한 복소수는 다음과 같이 복소 평면에서 순서 쌍(x, y)으로 식별할 수 있습니다.

복소수를 복소 평면에 표시할 수 있는 방법을 보여 줌

즉, 복소수 z는 점 (x, y)로 나타낼 수 있습니다.

이제 다음 점화식을 살펴보겠습니다. 여기서 zc는 둘 다 복소수입니다.

Mandelbrot 수식(복소수 점화식)

이 점화식을 사용하려면 z의 초기 값(z0으로 표시됨)을 제곱하고 c에 더하여 다음 z 값(z1로 표시됨)이 점화식에서 사용되도록 합니다. 즉, z1이 다시 점화식에 연결되어 z2를 계산하는 방식입니다.

예제를 통해 이 반복적인 프로세스를 살펴볼 수 있습니다. 시작하려면 z0 = 0 + 0i = 0이고 c = 0.2 + 0.4i가 되도록 합니다. 그러면 다음과 같이 z1이 계산됩니다.

첫 번째 반복 계산

z2를 계산하려면 z1을 점화식에 다시 연결합니다.

두 번째 반복 계산

z3을 계산하려면 위와 같이 z2를 반복합니다.

세 번째 반복 계산

이 반복적인 프로세스를 계속 진행하여 zn이 무한대인지 여부를 확인합니다. 예를 들어 194번 반복 후에는 z192 z193 zn ≈ 0.024020542767376 + 0.420186201234005i임을 알 수 있습니다. 이는 여기에 표시된 대로 Microsoft Excel의 COMPLEX, IMPOWER, IMSUM 및 INABS 함수를 사용하여 확인했습니다. 따라서 지정된 c 값(0.2+0.4i)에 대해 zn이 한계가 있는 상태로 유지된다고 할 수 있습니다.

일반적으로 zn이 무한대인지 여부는 zn의 절대값을 검사하여 결정합니다. |z|로 표시되는 복소수 x + yi절대값(또는 계수)은 다음과 같이 정의됩니다.

복소수 z의 계수 또는 절대값

표시된 대로 복소수의 절대값은 항상 음수가 아닌 실수 값입니다. 예를 들어 z193의 절대값은 다음과 같습니다.

z193의 계수

zn이 약 0.4209로 고정되었기 때문에 | zn|이 지정된 c 값에 대해 무한(이스케이프)으로 기울지 않는 것처럼 보입니다(즉, 0.2 + 0.4i).

이 점을 염두에 두면 Mandelbrot 집합의 정의는 간단합니다. Mandelbrot 집합은 순서를 반복적으로 정의한 복소 평면에 있는 점 c의 집합으로 구성됩니다.

Mandelbrot 점화식

한계가 있는 상태로 유지됩니다. 즉, 복소수 cz0 = 0에서 시작하여 반복을 반복적으로 적용할 때 zn의 절대값이 무한으로 기울지 않지만 큰 n을 얻으면 Mandelbrot 집합의 일부입니다.

매우 복잡한 이 집합을 시각화하는 가장 간단한 방법 중 하나는 복소 평면의 각 점이 c 값을 나타내도록 한 다음 지정된 c 값으로 점화식을 반복하여 c가 Mandelbrot 집합의 일부인지 여부를 확인하는 것입니다. 즉, 각각 |zn|가 한계가 있는 상태로 유지되거나 |zn|가 무한으로 기우는 경우입니다.

예를 들어 복소 평면에서 다음 c 값을 살펴보겠습니다.

복소 평면의 0.2 + 0.4i

c 값(필요에 따라 z0 = 0에서 시작)을 반복하면 위의 계산을 통해 zn의 절대값이 작음(≈0.4209)을 알 수 있습니다. 따라서 c = 0.2 + 0.4i z0 = 0인 복소수 이차다항식 zn+1 = zn + c의 반복으로 | zn|이 무한으로 기울지 않는 Mandelbrot 집합의 일부입니다.

이제 복소 평면의 각 c = x + yi = (x, y) 점에 대해 위의 반복적인 절차를 사용하여 | zn|이 무한으로 기울어지는지 여부를 확인합니다. 이스케이프되면 c와 관련된 점을 흰색으로 지정합니다. 이스케이프되지 않으면 점을 검정색으로 지정합니다. 그러면 다음과 같은 이미지가 생성됩니다(Wikipedia Commons 참조).

복소 평면 좌표축이 있는 Mandelbrot 집합

이 이미지에서는 (0.01, 0.01)이 검정색으로 표시되므로 점 c = (0.01, 0.01)이 이스케이프되지 않는 것처럼 보입니다. 마찬가지로 (0.5, 0.5)는 흰색으로 표시되므로 점 c = (0.5, 0.5)는 이스케이프된 것처럼 보입니다. 이전 Excel 스프레드시트를 사용하면 이러한 추측이 둘 다 참임을 알 수 있습니다.

  • 10번 반복 후에는 | zc(0.01, 0.01)|이 약 0.0143로 고정됩니다.
  • 16번 반복 후에는 | zc(0.5, 0.5)|가 너무 커져서 Excel에서 (| z14| ≈ 8.0716 x 10287)을 나타낼 수 없습니다.

또한 이 이미지는 복소 평면의 일부 제한 영역 내에 Mandelbrot 집합을 포함할 수 있음을 나타냅니다. 기본 속성에 설명된 대로 Mandelbrot 집합은 복소 평면에서 반지름이 2인 원(원점에 중심이 있음) 내에 완전히 포함됩니다.

이러한 수학적 이해를 기반으로 이제 캔버스를 사용한 Mandelbrot 집합의 초기 렌더링의 설명에 따라 HTML5 캔버스 요소를 사용하여 위와 유사한 이미지를 만들 수 있습니다.

관련 항목

캔버스를 사용한 Mandelbrot 집합의 초기 렌더링

 

 

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