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Brève présentation de l’ensemble de Mandelbrot

Cette rubrique fournit une présentation de base de l’ensemble de Mandelbrot.

Considérez le nombre complexe z = x + yi. La partie réelle (Re) de z est x et la partie imaginaire (Im) est y. Tout comme un point sur le plan cartésien, un nombre complexe peut être identifié sur le plan complexe par la paire ordonnée (x, y) comme suit :

Montre comment un nombre complexe peut être indiqué sur le plan complexe

Autrement dit, le nombre complexe z peut être représenté par le point (x, y).

Considérez maintenant la relation de récurrence suivante, où z et c sont tous deux des nombres complexes :

L’équation de Mandelbrot (relation de récurrence complexe)

Pour utiliser cette relation de récurrence, une valeur initiale pour z (dénotée par z0) est mise au carré et ajoutée à c, ce qui résulte en l’utilisation de la valeur z suivante (dénotée par z1) dans la relation de récurrence. Autrement dit, z1 est réinsérée dans la relation pour calculer z2, et ainsi de suite.

Un exemple peut aider à illustrer ce processus d’itération. Pour commencer, supposons que z0 = 0 + 0i = 0 et que c = 0,2 + 0,4i. z1 est calculé comme suit :

Calcul de première itération

Pour calculer z2, nous réinsérons z1 dans la relation de récurrence :

Calcul de seconde itération

Pour calculer z3, z2 est itérée comme ci-dessus :

Calcul de troisième itération

Ce processus d’itération continue afin de déterminer si zn devient sans limite ou non. Par exemple, après 194 itérations, nous découvrons que z192 z193 zn ≈ 0,024020542767376 + 0,420186201234005i. Ceci a été déterminé à l’aide des fonctions COMPLEX, IMPOWER, IMSUM et INABS de Microsoft Excel, comme indiqué ici. Nous pouvons donc dire sans risque que pour la valeur c donnée (0,2+0,4i), zn demeure limitée.

Pour déterminer si zn devient sans limite ou non, on examine généralement la valeur absolue de zn. La valeur absolue (ou module) du nombre complexe x + yi, dénotée par | z|, est définie comme suit :

Module ou valeur absolue d’un nombre complexe z

Comme indiqué, la valeur absolue d’un nombre complexe est toujours une valeur réelle non négative. Par exemple, la valeur absolue de z193 est :

Module de z193

Étant donné que zn s’est stabilisé à environ 0,4209, il semble que | zn| ne tend pas vers l’infini pour la valeur donnée de c (à savoir, 0,2 + 0,4i).

En ayant ceci à l’esprit, la définition de l’ensemble de Mandelbrot est simple : il est constitué de l’ensemble de points c dans le plan complexe pour lesquels la séquence définie de manière itérative :

Relation de récurrence de Mandelbrot

demeure limitée. Autrement dit, un nombre complexe c fait partie de l’ensemble de Mandelbrot si, en partant de z0 = 0 et en appliquant l’itération de manière répétée, la valeur absolue de zn ne tend pas vers l’infini quelle que soit la valeur de n.

L’une des façons les plus simples de visualiser cet ensemble remarquablement élaboré consiste à supposer que chaque point dans le plan complexe représente une valeur c, puis à itérer la relation de récurrence avec la valeur c donnée pour déterminer si c fait partie ou non de l’ensemble de Mandelbrot. Autrement dit, si | zn| demeure limitée ou si | zn| tend vers l’infini, respectivement.

Par exemple, considérez la valeur c suivante dans le plan complexe :

0,2 + 0,4i dans le plan complexe

Quand nous itérons cette valeur c (en commençant avec z0 = 0, comme requis), nous savons, d’après le calcul ci-dessus, que la valeur absolue de zn est petite (≈0,4209). Ainsi, il semblerait que c = 0,2 + 0,4i fasse partie de l’ensemble de Mandelbrot, dans le sens où | zn| ne tend pas vers l’infini en cas d’itération du polynôme quadratique complexe zn+1 = zn + c avec z0 = 0.

Maintenant, pour chaque point c = x + yi = (x, y) dans le plan complexe, nous utilisons la procédure d’itération ci-dessus pour déterminer si | zn| tend vers l’infini. Si c’est le cas, nous colorons en blanc le point associé à c. Dans le cas contraire, nous colorons le point en noir. Ceci génère une image semblable à la suivante (avec l’aimable autorisation de Wikipedia Commons) :

Ensemble de Mandelbrot avec axes de coordonnées de plan complexe

D’après cette image, il semblerait que le point c = (0,01, 0,01) ne tende pas vers l’infini car (0,01, 0,01) semble noir. De même, il semblerait que le point c = (0,5, 0,5) tende vers l’infini car (0,5, 0,5) semble blanc. En utilisant la feuille de calcul Excel précédente, on s’aperçoit que ces deux conjectures sont vraies :

  • Après 10 itérations, | zc(0.01, 0.01)| se stabilise à environ 0,0143.
  • Après 16 itérations, | zc(0.5, 0.5)| devient trop grand pour Excel (| z14| ≈ 8,0716 x 10287).

Cette image suggère également que l’ensemble de Mandelbrot peut être contenu dans une zone finie du plan complexe. Comme décrit dans Propriétés de base, il apparaît que l’ensemble de Mandelbrot est contenu entièrement dans un cercle de rayon 2 (centré à l’origine) du plan complexe.

Ce principe mathématique ayant été établi, nous pouvons maintenant créer une image semblable à celle ci-dessus à l’aide de l’élément de la zone de dessin HTML5, comme décrit dans Rendu initial de l’ensemble de Mandelbrot à l’aide de la zone de dessin.

Rubriques connexes

Rendu initial de l’ensemble de Mandelbrot à l’aide de la zone de dessin

 

 

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